O que é indução matemática?

A matemática tem um estigma assustador para os alunos, embora quanto mais você explorar e praticar a matemática com frequência, mais divertido e agradável será. Então , agora vamos convidá-lo a saber mais sobre indução matemática. O que é indução matemática e para que é usada?

A própria indução matemática pode ser interpretada como uma técnica de prova em matemática. É usado para provar declarações especiais contendo números naturais. A prova usando este método produz conclusões gerais.

Introdução à Indução Matemática

Ao provar usando indução matemática, conclusões gerais são obtidas. Existem dois tipos de raciocínio usados ​​para obter conclusões, ou seja, o raciocínio dedutivo e o raciocínio indutivo.

  • O raciocínio dedutivo é aquele que parte de afirmações gerais para afirmações específicas. Essa abordagem é chamada de abordagem "geral específica" porque o raciocínio começa com o geral e depois termina com coisas específicas. Exemplo; todas as maçãs são frutas, todas as frutas crescem nas árvores, então todas as maçãs crescem nas árvores.
  • O raciocínio indutivo é o raciocínio que parte de afirmações específicas a afirmações gerais. Esta abordagem é chamada de abordagem “geral-específica” porque as declarações são compostas de pontos específicos para chegar a conclusões geralmente aceitas. Exemplo; Um passageiro de ônibus observa que toda vez que o motorista do ônibus pisar no pedal do freio, todos os passageiros do ônibus serão empurrados para a frente.

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Além disso, o método de indução matemática pode ser usado para provar a verdade de uma hipótese especial de modo que seja geralmente aceita. Portanto, este método é usado na prova no raciocínio indutivo.

Aplicação da Indução Matemática

A aplicação da indução matemática pode ser encontrada em vários ramos da matemática. Hipóteses arranjadas em matemática precisam ser provadas para serem geralmente aceitas. Uma hipótese geralmente é válida se for comprovada como verdadeira para todos os valores numéricos usados. Aqui está um exemplo de uma declaração que pode ser provada dessa forma.

Prove que a soma da série de números ímpares -n é n2. Onde n é um número natural.

Solução: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 aplica-se a cada n € A

A etapa básica: para n = 1, obtemos que P1 = 1 = 12 está correto.

Etapa de indução: suponha que para n = k, P k seja verdadeiro. Será mostrado que para n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 é verdadeiro.

Preste atenção às seguintes etapas:

Para n = k, então P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 é verdadeiro.

Adicionando [2 (k + 1) -1] aos dois lados, então

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (comprovado)

Princípios de Indução Matemática

Seja P (n) uma declaração contendo números naturais. A expressão P (n) pode ser provada verdadeira para todos os números naturais n, seguindo as etapas de indução matemática.

Aqui estão as etapas da prova usando este método:

  1. Prove que P (1) é verdadeiro ou P (n) é verdadeiro para n = 1.
  2. Se P (k) for verdadeiro, então mostre que P (k + 1) é verdadeiro para todo inteiro positivo k.

Se os passos (1) e (2) estiverem corretos, pode-se concluir que P (n) é verdadeiro para todo número natural n. A etapa 1 é chamada de etapa base, enquanto a etapa 2 é chamada de etapa de indução.