Na arquitetura, existem cálculos matemáticos para a construção de edifícios, um dos quais é um sistema de equações lineares. O sistema de equações lineares é útil para determinar as coordenadas dos pontos de interseção. Coordenadas corretas são essenciais para produzir uma construção que corresponda ao esboço. Neste artigo, discutiremos um sistema de equações lineares de três variáveis (SPLTV).
Um sistema de três variáveis de equações lineares consiste em várias equações lineares com três variáveis. A forma geral de uma equação linear de três variáveis é a seguinte.
ax + by + cz = d
a, b, c e d são números reais, mas a, b e c não podem ser todos 0. A equação tem muitas soluções. Uma solução pode ser obtida igualando qualquer valor às duas variáveis para determinar o valor da terceira variável.
Um valor (x, y, z) é o conjunto de soluções para um sistema de três variáveis de equações lineares se o valor (x, y, z) satisfizer as três equações em SPLTV. O conjunto de liquidação SPLTV pode ser determinado de duas formas, nomeadamente o método de substituição e o método de eliminação.
Método de Substituição
O método de substituição é um método de resolver sistemas de equações lineares substituindo o valor de uma variável de uma equação para outra. Este método é realizado até que todos os valores das variáveis sejam obtidos em um sistema de equações lineares de três variáveis.
(Leia também: Sistema de Equação Linear de Duas Variáveis)
O método de substituição é mais fácil de usar em SPLTV que contém equações com um coeficiente de 0 ou 1. Aqui estão as etapas para resolver o método de substituição.
- Encontre uma equação com formas simples. As equações simplificadas têm um coeficiente de 1 ou 0.
- Expresse uma variável na forma das outras duas variáveis. Por exemplo, a variável x é expressa em termos de y ou z.
- Substitua os valores das variáveis obtidos na segunda etapa em outras equações em SPLTV, de modo que um sistema de equações lineares de duas variáveis (SPLDV) seja obtido.
- Determine a liquidação SPLDV obtida na etapa três.
- Determine os valores de todas as variáveis desconhecidas.
Vamos fazer o seguinte problema de exemplo. Encontre o conjunto de soluções para o seguinte sistema de três variáveis de equações lineares.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Primeiro, podemos converter a equação (1) em, z = -x - y - 6 na equação (4). Então, podemos substituir a equação (4) na equação (2) como segue.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Depois disso, podemos substituir a equação (4) na equação (3) como segue.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Temos os valores para x = -5 ey = -3. Podemos inseri-lo na equação (4) para obter o valor z da seguinte maneira.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
Então, temos o conjunto de soluções (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Método de Eliminação
O método de eliminação é um método de resolução de sistemas de equações lineares eliminando uma das variáveis em duas equações. Este método é executado até que reste apenas uma variável.
O método de eliminação pode ser usado em todos os sistemas de equações lineares de três variáveis. Mas esse método requer uma etapa longa porque cada etapa pode eliminar apenas uma variável. Um mínimo de 3 métodos de eliminação é necessário para determinar o conjunto de liquidação SPLTV. Este método é mais fácil quando combinado com o método de substituição.
As etapas para conclusão usando o método de eliminação são as seguintes.
- Observe as três semelhanças em SPLTV. Se duas equações tiverem o mesmo coeficiente na mesma variável, subtraia ou adicione as duas equações para que a variável tenha um coeficiente de 0.
- Se nenhuma variável tiver o mesmo coeficiente, multiplique ambas as equações pelo número que torna o coeficiente de uma variável em ambas as equações o mesmo. Subtraia ou some as duas equações para que a variável tenha um coeficiente de 0.
- Repita a etapa 2 para outros pares de equações. A variável omitida nesta etapa deve ser igual à variável omitida na etapa 2.
- Depois de obter duas novas equações na etapa anterior, determine o conjunto de soluções para as duas equações usando o método de solução do sistema de equações lineares de duas variáveis (SPLDV).
- Substitua o valor das duas variáveis obtidas na etapa 4 em uma das equações SPLTV de modo que o valor da terceira variável seja obtido.
Tentaremos usar o método de eliminação no seguinte problema. Determine o conjunto de soluções SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
O SPLTV pode ser determinado eliminando a variável z. Primeiro, some as equações (1) e (2) para obter:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Em seguida, multiplique 2 na equação (2) e multiplique 1 na equação (1) para obter:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Depois de saber o valor de x, substitua-o pela equação (4) como segue.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Substitua os valores xey na equação (2) da seguinte maneira.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Para que o conjunto de soluções SPLTV (x, y, z) seja (5, 3, -1).
